Montrez que si \(f:[a,b]\to{\Bbb R}\) est continue, alors \(\forall y\in[f(a),f(b)],\exists c\in[a,b],y=f(c)\)
(théorème des valeurs intermédiaires)

Initialisation du raisonnement par dichotomie
Quitte à remplacer \(f\) par \(-f\), on suppose que \(f(a)\lt f(b)\)
On va mettre en évidence la solution \(c\) de l'équation \(y=f(c)\) par principe de dichotomie. Puisque \(k\in[f(a),f(b)]\), alors $$k\in\left[ f(a),f\left(\frac{a+b}2\right)\right]\quad\text{ ou }\quad k\in\left[ f\left(\frac{a+b}2\right),f(b)\right]$$

Définition de deux suites pour la dichotomie
On introduit deux suites \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((b_n)_{n\in\Bbb N}\) définies par :$$\begin{align} a_0=a\quad\text{ et }\quad\forall n\in{\Bbb N},a_{n+1}=\begin{cases} a_n&&\text{si}&f\left(\cfrac{a_n+b_n}2\right)\geqslant k\\ \cfrac{a_n+b_n}2&&\text{si}&f\left(\cfrac{a_n+b_n}2\right)\lt k\end{cases}\\ b_0=b\quad\text{ et }\quad\forall n\in{\Bbb N},b_{n+1}=\begin{cases} \cfrac{a_n+b_n}2&&\text{si}&f\left(\cfrac{a_n+b_n}2\right)\geqslant k\\ b_n&&\text{si}&f\left(\cfrac{a_n+b_n}2\right)\lt k\end{cases}\end{align}$$

Montrer par récurrence que \(a\leqslant a_n\leqslant b_n\leqslant b\) en se servant des définitions de \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((b_n)_{n\in\Bbb N}\)
Montrons par récurrence que \(\forall n\in{\Bbb N},a\leqslant a_n\leqslant b_n\leqslant b\)
Initialisation : \(a_0=a\leqslant b=b_0\quad\checkmark\)
Hérédité : montrons que \((a\leqslant a_n\leqslant b_n\leqslant b)\implies(\forall n\in{\Bbb N},a\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b)\)
Procédons par disjonction des cas :

• si \(f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\geqslant k\), alors \(a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\), donc on a \(a\leqslant a_{n+1}=a_n\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n\leqslant b\quad\checkmark\)
• si \(f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\lt k\), alors \(b_{n+1}=b_n\) et \(a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\), donc on a \(a\leqslant a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_n= b_{n+1}\leqslant b\quad\checkmark\)

Conclusion : \(\checkmark\)

On a donc nécessairement $$a_n\leqslant\frac{a_n+b_n}2\leqslant b_n$$

Mettre en évidence les sens de variation de \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((b_n)_{n\in\Bbb N}\) à l'aide de leur définition
Penchons-nous sur les sens variation de \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) et \((b_n)_{n\in\Bbb N}\) : $$\begin{align} f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\geqslant k\;&\implies\left( a_{n+1} =a_n\quad\text{ et }\quad b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\leqslant b_n\right)\\ f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\lt k\;&\implies\left( b_{n+1} =b_n\quad\text{ et }\quad a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\geqslant a_n\right)\end{align}$$ donc \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) est croissante et \((b_n)_{n\in\Bbb N}\) est décroissante

Application du théorème de convergence monotone
D'après le théorème de convergence monotone, puisque \((a_n)_{n\in\Bbb N}\) est croissante et bornée, alors elle converge vers \(\ell_1\in{\Bbb R}\), et puisque \((b_n)_{n\in\Bbb N}\) est décroissante et bornée, alors elle converge vers \(\ell_2\in{\Bbb R}\). De plus, on a : $$a\leqslant\ell_1\leqslant\ell_2\leqslant b$$

Pour montrer que \(\ell_1=\ell_2\), montrer que \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(b_n-a_n)=0\) (c'est une suite géométrique)
$$\forall n\in{\Bbb N},b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{b_n-a_n}2$$ la suite \((b_n-a_n)_{n\in\Bbb N}\) est donc géométrique de raison \(\frac12\), et puisque \(0\lt \frac12\lt 1\), alors on a \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }(b_n-a_n)=0\)
On a donc $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } a_n=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } b_n=\ell$$

Puisque \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors elle est continue en \(\ell\)
Par composition, on a donc : $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f(b_n)=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } f(a_n)=f(\ell)$$

Montrer par récurrence que \(f(\ell)\leqslant k\leqslant f(\ell)\)
Montrons par récurrence que \(\forall n\in{\Bbb N},f(a_n)\leqslant k\leqslant f(b_n)\)
Initialisation : par définition, \(k\in[f(a),f(b)]\quad\checkmark\)
Hérédité : montrons que \(f(a_n)\leqslant k\leqslant f(b_n)\implies f(a_{n+1})\leqslant k\leqslant f(b_{n+1})\) : $$\begin{align} f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\geqslant k\;&\implies a_{n+1}=a_n, b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\quad\text{ donc }\quad f(a_{n+1})=f(a_n)\leqslant k\leqslant f(b_{n+1})\\ f\left(\frac{a_n+b_n}2\right)\lt k\;&\implies b_{n+1}=b_n, a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2\quad\text{ donc }\quad f(a_{n+1})\lt k\leqslant f(b_n)=f(b_{n+1})\end{align}$$
Conclusion : \(\checkmark\)
On obtient donc \(f(\ell)\leqslant k\leqslant f(\ell)\implies k=f(\ell)\)

Il existe donc un réel dans l'intervalle \([a,b]\) qui a pour image \(k\)

(Dichotomie - Bissection, Raisonnement par récurrence, Raisonnement par disjonction des cas, Suite croissante, Suite décroissante, Théorème de convergence monotone (suites), Suite géométrique, Composition)